В отличие от геометрии Римана, здесь нет готовых геометрических рецептов, уже описанных в книгах по математике и пригодных для того, чтобы занимающиеся струнами физики могли взять их на вооружение и использовать в этой науке. Напротив, современные физики и математики погружены в исследования в теории струн, по крупицам собирая знания, которые лягут в основу новой области физики и математики. И хотя основная часть работы еще впереди, в ходе этих исследований уже было открыто много новых диктуемых теорией струн геометрических свойств пространства-времени, которые наверняка произвели бы впечатление и на самого Эйнштейна.

При прыжках на батуте его упругие волокна растягиваются под весом человеческого тела, и батут деформируется. Сильнее всего растяжение вблизи тела человека, а по мере приближения к краям батута растяжение менее заметно. Это наглядно видно, если на батут нанесено знакомое изображение (например, Мона Лиза). Если на батуте никто не стоит, изображение выглядит нормально, но если на батут встает человек, изображение искажается, в особенности непосредственно под человеком (см. рис. 10.1).

Рис. 10.1. Если на батуте с нанесенным изображением стоит человек, изображение сильнее всего искажается под весом тела человека.

Этот пример иллюстрирует важнейший принцип описания искривленных поверхностей, принятый в математической формулировке Римана. На основе более ранних наблюдений Карла Фридриха Гаусса, Николая Лобачевского, Яноша Бойяи и других математиков, Риман показал, что детальный анализ расстояний между всеми точками на поверхности объекта или внутри него дает способ вычисления значения кривизны. Грубо говоря, чем больше (неоднородное) растяжение, тем сильнее отклонение от формулы для расстояний в плоском случае, и тем больше кривизна объекта. Например, батут сильнее всего растягивается под ногами человека, и поэтому расстояния между точками в этой области будут сильнее всего отличаться от расстояний в случае ненагруженного батута. Следовательно, кривизна батута здесь будет максимальной. Это интуитивно ясно из приведенного рисунка: именно в таких точках изображение на батуте искажено сильнее всего.

Эйнштейн использовал математические результаты Римана и дал им точную физическую интерпретацию. Как обсуждалось в главе 3, Эйнштейн показал, что гравитационное взаимодействие обусловлено кривизной пространства-времени. Рассмотрим эту интерпретацию более подробно. С математической точки зрения, кривизна пространства-времени, подобно кривизне батута, означает искажение расстояний между точками. С физической точки зрения, действие гравитационной силы на тело есть прямое следствие этого искажения расстояний. По мере того как размеры тел уменьшаются, физика и математика должны согласовываться все лучше и лучше, потому что абстрактное математическое понятие точки становится все ближе к физической реальности. Однако теория струн ограничивает точность, с которой геометрическая формулировка Римана может соответствовать физической природе гравитации, ибо накладывает ограничение на минимальный размер, который вы можете придать физическому телу. Как только вы спускаетесь до размера струны, дальше дороги нет. В теории струн не существует традиционного понятия точечной частицы: в противном случае с помощью теории струн было бы невозможно реализовать квантовую теорию гравитации. Это определенно свидетельствует о том, что риманова геометрия, в основе которой лежат вычисления расстояний между точками, на ультрамикроскопических масштабах модифицируется теорией струн.

Такое наблюдение несущественно для стандартных приложений общей теории относительности к изучению макросистем. Например, проводя исследования в области космологии, физики, не задумываясь, рассматривают огромные галактики в качестве точек, так как размер галактик пренебрежимо мал по сравнению с размером Вселенной. Этот грубый подход к формулировке римановой геометрии оказывается, тем не менее, исключительно точным — в области космологии успех общей теории относительности очевиден. Однако в ультрамикроскопической области в силу протяженных свойств струн риманова геометрия просто не является подходящим математическим формализмом. Как мы увидим ниже, она должна быть заменена квантовой геометрией теории струн, и эта замена приведет к возникновению поразительных и неожиданных новых эффектов.

Согласно космологической модели Большого взрыва вся Вселенная образовалась в результате необычайного космического взрыва, произошедшего около 15 миллиардов лет назад. Как впервые обнаружено Хабблом, даже сегодня продолжают разлетаться «осколки» этого взрыва, представляющие собой миллиарды галактик. Вселенная расширяется. Нам неизвестно, продолжится ли это расширение бесконечно, или в какой-то момент расширение замедлится, затем прекратится, сменится сжатием, и, наконец, вновь приведет к космическому взрыву. Астрономы и астрофизики пытаются изучить этот вопрос экспериментально, так как ответ зависит от величины, которую, в принципе, можно измерить, а именно от средней плотности материи во Вселенной.

Если средняя плотность материи превысит так называемую критическую плотность, равную примерно 10-29 г/см3 (около 5 атомов водорода на каждый кубический метр Вселенной), то Вселенную пронзит всепроникающая гравитационная сила, которая остановит расширение и приведет к сжатию. Если средняя плотность материи меньше критической, то гравитационное притяжение будет слишком слабым, чтобы остановить расширение, и оно будет продолжаться вечно. (Основываясь на житейских наблюдениях, можно подумать, что средняя плотность Вселенной во много раз превышает критическое значение. Нужно, однако, иметь в виду, что материя, как и деньги, имеет тенденцию скапливаться в определенных местах. Использование средней плотности Земли, Солнечной системы или даже Млечного пути в качестве средней плотности Вселенной сродни использованию величины состояния Билла Гейтса для оценки среднего состояния простых смертных. Состояние большинства людей бледнеет по сравнению с состоянием Гейтса, и это приводит к значительному уменьшению среднего значения. Существование огромных и практически пустых пространств между галактиками ведет к колоссальному снижению средней плотности материи.)

Тщательно исследуя распределение галактик в пространстве, астрономы могут довольно точно предсказать среднюю плотность видимой материи во Вселенной. Она оказывается гораздо меньше критической. Однако имеются серьезные основания полагать (как с теоретической, так и экспериментальной точки зрения), что Вселенная пронизана темной материей. Эта материя не участвует в ядерном синтезе, происходящем в звездах, и поэтому не излучает свет. Следовательно, ее нельзя обнаружить с помощью телескопа. Никому еще не удавалось выяснить природу темной материи, не говоря уже о том, чтобы вычислить ее точное количество. А это означает, что будущее нашей Вселенной, которая в настоящий момент расширяется, остается неясным.

Рассмотрим, например, что произойдет, если плотность материи превышает критическое значение, и однажды в далеком будущем расширение прекратится, после чего Вселенная начнет сжиматься. Все галактики сначала будут медленно приближаться друг к другу. затем, со временем, скорость их сближения возрастет, и они помчатся навстречу друг другу с огромной скоростью. Представьте себе всю Вселенную, сжимающуюся в один непрерывно уменьшающийся сгусток космической материи. Согласно главе 3, начиная с максимального размера во многие миллиарды световых лет, Вселенная сожмется до миллионов световых лет, и это сжатие будет ускоряться с каждой секундой. Все будет сжиматься сначала до размеров одной галактики, затем до размеров одной звезды, планеты, апельсина, горошины, песчинки. Далее, согласно обшей теории относительности, до размеров молекулы, атома, и, на неизбежной окончательной стадии Большого сжатия, до размеров точки. Согласно общепринятой теории Вселенная начала свое существование после взрыва в начальном состоянии нулевого размера, и если ее масса окажется достаточной, завершит свое существование коллапсом в аналогичное состояние окончательного космического сжатия.